soal induksi matematik

Soal

4n – 1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat positif n >= 1.

Jawab:

Langkah 1 (Basic Step)

S(1) = benar

S(n) = S(1)

n = 1


jika U = 4n – 1, maka nilai U berubah menjadi

U = 41 – 1
U = 3

Dari soal “habis dibagi 3” maka dari langkah 1 “benar” karena

U/3 = 3/3 = 1



Langkah 2 (Induktif Step)

S(k) = benar

S(n) = S(k)

n = k

Jadi, U = 4n – 1

U = 4k – 1 …………………………………………………………….1

Lalu

S (k +1) = benar

S(n) = S (k + 1)

n = k + 1

maka;
U = 4n – 1

U = 4k+1 – 1

U = 41 x 4k – 1

U = 4 x 4k – 1 …………………………………………………………..2


UJI KEBENARAN

S(k) = 4k – 1 ………………1

S(k + 1) = 4 x 4k – 1 ……….2

Dari kedua persamaan maka didapat nilai:

4 x 4k - 4k = 3 x 4k ……………3


gabungkan persamaan 3 + 1

3 x 4k + 4k – 1 ………………4

maka,

UJI KEBENARAN I dengan cara menggunakan persamaan 3 yang nilainya habis dibagi 3, artinya nilai harus bernilai 1.

3 x 4k / 3 = 1 x 4k

jadi, uji kebenaran I benar karena hasilnya bernilai 1

UJI KEBENARAN II dengan cara menjumlahkan persamaan 3 + 1 yang hasilnya bernilai sama dengan persamaan 2

persamaan 3 + 1 :

3 x 4k + 4k – 1

4 x 4k – 1

jadi, uji kebenaran II benar karena hasilnya sama dengan persamaan II


Langkah 3 (kesimpulan)

Dari semua percobaan yang dilakukan, langkah 1 sampai langkah ke -2 bernilai benar. Maka kesimpulan akhir adalah BENAR.

sumber : disini

PENGANTAR ALGORITMA DAN PROGRAM

“Algoritma adalah urutan langkah-langkah logis penyelesaian masalah
yang disusun secara sistematis dan logis”. Kata logis merupakan kata kunci
dalam algoritma. Langkah-langkah dalam algoritma harus logis dan harus
dapat ditentukan bernilai salah atau benar.

Dalam beberapa konteks, algoritma adalah spesifikasi urutan langkah untuk
melakukan pekerjaan tertentu. Pertimbangan dalam pemilihan algoritma
adalah, pertama, algoritma haruslah benar. Artinya algoritma akan memberikan
keluaran yang dikehendaki dari sejumlah masukan yang diberikan. Tidak
peduli sebagus apapun algoritma, kalau memberikan keluaran yang salah,
pastilah algoritma tersebut bukanlah algoritma yang baik.
Beda Algoritma dan Program

Program adalah kumpulan pernyataan komputer, sedangkan metode dan
tahapan sistematis dalam program adalah algoritma. Program ditulis dengan
menggunakan bahasa pemrograman. Jadi bisa disebut bahwa program
adalah suatu implementasi dari bahasa pemrograman.
Beberapa pakar memberi formula bahwa:

Program = Algoritma + Bahasa (Struktur Data)

Pembuatan algoritma mempunyai banyak keuntungan di antaranya:

1. Pembuatan atau penulisan algoritma tidak tergantung pada bahasa
pemrograman manapun, artinya penulisan algoritma independen dari
bahasa pemrograman dan komputer yang melaksanakannya.

2. Notasi algoritma dapat diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa
pemrograman.

3. Apapun bahasa pemrogramannya, output yang akan dikeluarkan sama
karena algoritmanya sama.
Algoritma Merupakan Jantung Ilmu Informatika

Algoritma adalah jantung ilmu komputer atau informatika. Banyak cabang
ilmu komputer yang mengarah ke dalam terminologi algoritma. Namun,
jangan beranggapan algoritma selalu identik dengan ilmu komputer saja.
Dalam kehidupan sehari-hari pun banyak terdapat proses yang dinyatakan
dalam suatu algoritma. Cara-cara membuat kue atau masakan yang
dinyatakan dalam suatu resep juga dapat disebut sebagai algoritma. Pada
setiap resep selalu ada urutan langkah-langkah membuat masakan. Bila
langkah-langkahnya tidak logis, tidak dapat dihasilkan masakan yang
diinginkan. Ibu-ibu yang mencoba suatu resep masakan akan membaca satu
per satu langkah-langkah pembuatannya lalu ia mengerjakan proses sesuai
yang ia baca. Secara umum, pihak (benda) yang mengerjakan proses disebut
pemroses (processor). Pemroses tersebut dapat berupa manusia, komputer,
robot atau alat-alat elektronik lainnya. Pemroses melakukan suatu proses
dengan melaksanakan atau “mengeksekusi” algoritma yang menjabarkan
proses tersebut.


Definisi Algoritma

Belajar Memprogram

• Belajar memprogram: belajar bahasa pemrograman.

ALGORITMA & PEMROGRAMAN: Teori dan Praktik dalam Pascal Edisi Kedua

• Belajar memprogram: belajar tentang strategi pemecahan masalah,
metodologi dan sistematika pemecahan masalah kemudian
menuliskannya dalam notasi yang disepakati bersama.
• Belajar memprogram: bersifat pemahaman persoalan, analisis dan
sintesis.
• Belajar memprogram, titik berat: designer program.

Belajar Bahasa Pemrograman

• Belajar bahasa pemrograman: belajar memakai suatu bahasa
pemrograman, aturan sintaks, tatacara untuk memanfaatkan pernyataan
yang spesifik untuk setiap bahasa.
• Belajar bahasa pemrograman, titik berat: coder.

Produk yang Dihasilkan Pemrogram

• Program dengan rancangan yang baik (metodologis, sistematis).
• Dapat dieksekusi oleh mesin.
• Berfungsi dengan benar.
• Sanggup melayani segala kemungkinan masukan.
• Disertai dokumentasi.
• Belajar memprogram, titik berat: designer program.

Pengertian Rate of Return, Perhitungan dan Penerapannya

A.Pengertian Rate of Return
Rate of Return dapat didefinisikan sebagai bunga rata-rata yang dibayarkan terhadap saldo yang belum dibayarkan dalam sebuah pinjaman sehingga pembayaran saldo yang belum dibayarkan tersebut secara berkala sama dengan nol ketika akhir pembayarannya
B.Macam – macam Rate of return

1.Internal Rate of Return (IRR)
2.External Rate of Return

Metode IRR ini untuk membuat peringkat usulan investasi dengan menggunakan tingkat pengembalian investasi yang di hitung dengan mencari tingkat yang menyamakan nilai sekarang dari arus kas masuk.
Perhitungan
Apabila Ao adalah investasi pada periode o dan A1 sampai An adalah aliran bersih dari periode 1 sampai n, maka metode IRR semata mata mencari discount factor yang menyamakan Ao dengan A1 sampai An.Apabila IRR lebih besar dari pada tingkat bunga yang disyaratkan maka proyek tersebut diterima.


Sumber:
[1] Newman, Donald G., 1990, Engineering Economic Analysis Third Edition, Binarupa Aksara: Jakarta
[2] Anugrah ayu, Media, 1999, Ekonomi Teknik, Penerbit Gunadarma:Jakarta.
[3]\ 2112.html

Pengertian cashflow dan penyusunan nya

Pengertian

Casflow adalah merupakan sebuah diagram yang menunjukan sejumlah aliran uang kas keluar dan masuk sebagai akibat dari aktivitas suatu petusahaan. Atau juga dapat di devinisikan ebagai aliran uang yang berputar pada suatu perusahaan serta berapa nilai saldo pada sebuah perusahaan.pada setiap periode nya.

Hal – hal yang perlu diperhatikan dalam pengaturan uang kas adalah mengenai fungsi uang yang dimiliki atau fungsi uang yang di investasikan

Funsi yang sangat sederhaa dari pengaturan uang adaah sebagai berikut

1 Fungsi likuiditas, yaitu dana yang tersedia untuk kebutuhan sehari – hari.

2 Fungsi anti inflasi, yitu dana yang disimpan unuk mencegah resiko penurunan daya beli dimasa yang akan dating.

3 Funsi capital growth, dana yang dibutuhkan untuk penambahan dalam waktu lama

Langkah – langkah penyusunan

1 Menentukan minimum kas

2 Menyusun estimasi penerimaan dan pengeluaran

3 Menyusun perkiraan kebutuhan dana dari hutang yang dibutuhkan untuk menutupi deficit kas dan membayar kembali pinjaman dari pihak ketiga

4 Menyusun kembali keseluruhan penerimaan dan pengeluaran setelah adanya transaksi financial dan budget kas.

Sumber;

[1] materi perkuliahan Ekonomi Teknik di Universitas Gunadarma tahun 2009

[2] cahflow.ilmumanagemen.

Konsep nilai waktu dari uang (Time Value of Money), Ekuivalensi dan Perumusan Bunga

A.     Konsep nilai waktu dari uang (Time Value of Money)

Pengertian

Time value of money atau dalam bahasa Indonesia disebut nilai waktu dari uang merupakan suatu konsep yang menyatakan bahwa nilai uang pada waktu sekarang akan lebih berharga dari pada nilai uang pada masa yang akan datang atau suatu konsep yang mengacu pada perbedaan nilai uang yang disebabkan karena perbedaaan waktu.

Waktu akan meruba nilai uang dengan sendiri nya tanpa ada aturan tertentu yang mengharuskan perubahan nilai uang dengan jangka waktu tertentu. Serta seberapa besar perubahan nilai uang tersebut.

Perubahan nilai uang sering dibandingkan oleh orang awam sebanding dengan nilai dari bahan- bahan pokok. Sebut saja seorang ibu rumah tangga sering mengeluhkan semakin mahal nya harga – harga bahan pokok yang semakin meningkat dan sering pula membandingkan nya dengan masa sebelum nya.

Contoh nya, seorang ibu rumah tangga pada masa lalu dengan uang sejumlah Rp. 10 000; dapat membeli berbagai bahan pokok, tetapi pada masa sekarang dengan uang sejumlah Rp. 10 000; hanya dapat membeli satu kilogram beras saja. Atau harga dari satu gram emas pada masa lalu seharga Rp. 30 000; per gram tetapi pada masa sekarang harga satu gram emas dapat mencapai Rp. 100 000; per gram nya.

Hal tersebut dapat membuktikan perubahan nilai uang terhadap suatu barang yang bersifat tetap tetapi yang berubah adalah nilai dari uang tersebut  

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai uang sejumlah Rp. 10 000; pada masa lalu akan berbeda dengan nilai uang Rp. 10 000; sekarang dan akan berbeda pula dengan nilai Rp 10 000; pada saat sepuluh tahun mendatang. Hal tersebut sangat mendasar karena nilai uang akan berubah menurut waktu yang disebabkan banyak faktor yang mempengaruhinya seperti.adanya inflasi, perubahan suku bunga, kebijakan pemerintah dalam hal pajak, suasana politik, dll.

Konsep time value of money ini sebenarnya ingin mengatakan bahwa jika Anda punya uang sebaiknya -bahkan seharusnya- diinvestasikan, sehingga nilai uang itu tidak menyusut dimakan waktu. Sebab, jika uang itu didiamkan, ditaruh di bawah bantal, brankas, atau lemari besi maka uang itu tidak bekerja dan karenanya nilainya semakin lama semakin turun.

B.     Manfaat

Manfaat time value of money adalah untuk mengetahui apakah investasi yang dilakukan dapat memberikan keuntungan atau tidak. Time value of money berguna untuk menghitung anggaran. Dengan demikian investor dapat menganalisa apakah proyek tersebut dapat memberikan keuntungan atau tidak. Dimana investor lebih menyukai suatu proyek yang memberikan keuntungan setiap tahun dimulai tahun pertama sampai tahun berikutnya.

pada akhir tahun kelima pada tingkat bunga 8%. [3]

C.     Perumusan Bunga

Bunga adalah jumlah yang dibayarkan akibat kita menggunakan uang pinjaman. Dalam suatu analisa kita dapat menggunakan notasi

I = P . n . i

Dimana :

I = Besarnya keseluruhan bunga

P = Besarnya pinjaman

n = Jumlah tahun/bulan

i = Tingkat bunga

 

 

Sumber :

[1] http://ilmumanajemen.wordpress.com

[2] Gitosudarmo M. Com, Drs. Indriyo ; Drs. Basri , “ Manajemen Keuangan, BPFE Yogyakarta , Oktober 1989 )

[3] http://www.chemeg.ui.ac.id